Sei $\mathcal{M}\subseteq\mathbb{R}^n$ offen. Die Lie-Ableitung eines Skalarfeldes $h:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ in Richtung des Vektorfeldes $f:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ ist definiert durch

\[L_fh(x)=h^\prime(x) \, f(x).\]

Mehrfache Lie-Ableitungen sind rekursiv durch

\[L_f^{k+1} h(x)=\frac{\partial L_f^kh(x)}{\partial x} f(x) \quad\text{mit}\quad L_f^0h(x)=h(x)\]

definiert.

Berechnung mit Maxima

Das Vektorfeld $f$ und der Vektor $x$ sind als Liste zu übergeben. Der Aufruf ist mit 3 und 4 Argumenten möglich.

LieScalar([l]):=block([f,h,x,k,Lfh],
    if (length(l)<3) or (length(l)>4) then 
       error ("Aufruf mit 3 oder 4 Argumenten."),
    f:l[1], /* Vektorfeld */
    h:l[2], /* Skalarfeld */
    x:l[3], /* Variable   */
    if length(l)=3 then k:1 else k:l[4],
    if not(nonnegintegerp(k)) then 
       error ("Ordnung k muss natürliche Zahl sein."),
    if k=0 then return(h)
    else 
        Lfh:jacobian([h],x).f,
        return(LieScalar(f,Lfh,x,k-1))
)$

Aufruf für Lie-Ableitung $L_fh(x)$:

LieScalar(f,h,x)

Aufruf für Lie-Ableitung $L_f^kh(x)$ der Ordnung $k$:

LieScalar(f,h,x,k)

Anwendung: Beispiel 3.3

Klaus Röbenack: Nichtlineare Regelungssysteme - Theorie und Anwendung der exakten Linearisierung.
Springer Vieweg, 2017, S. 47, Algorithmus 3.1.