Lie-Ableitung eines Vektorfeldes

Sei $\mathcal{M}\subseteq\mathbb{R}^n$ offen. Die Lie-Ableitung eines Vektorfeldes $g:\mathcal{M}\to\mathbb{R}^n$ in Richtung des Vektorfeldes $f:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ wird auch als Lie-Klammer der Vektorfelder $f,g:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ bezeichnet. Sie ist definiert durch

\[[f,g](x)= g^\prime(x)f(x)-f^\prime(x)g(x).\]

Mehrfache Lie-Klammern sind rekursiv durch

\[\operatorname{ad}^{k+1}_f g(x)= [f,\operatorname{ad}^{k}_f g](x) \quad\text{mit}\quad \operatorname{ad}^0_f g(x)=g(x)\]

definiert.

Berechnung mit Maxima

Die Vektorfeld $f$ und $g$ sowie der Vektor $x$ sind als Liste zu übergeben. Der Aufruf ist mit 3 und 4 Argumenten möglich.

LieBracket([l]):=block([f,g,x,k,Df,Dg,ad],
    if (length(l)<3) or (length(l)>4) then 
       error ("Aufruf mit 3 oder 4 Argumenten."),
    f:l[1],
    g:l[2],
    x:l[3],
    if length(l)=3 then k:1 else k:l[4],
    if not(nonnegintegerp(k)) then 
       error ("Ordnung k muss natürliche Zahl sein."),
    if k=0 then return(g)
    else 
        Df:jacobian(f,x),
        Dg:jacobian(g,x),
        ad:list_matrix_entries(Dg.f-Df.g),
        return(LieBracket(f,ad,x,k-1))
)$

Aufruf für Lie-Ableitung $L_fh(x)$:

LieBracket(f,g,x)

Aufruf für Lie-Ableitung $L_f^kh(x)$ der Ordnung $k$:

LieBracket(f,g,x,k)

Anwendung: Beispiel 3.11

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Klaus Röbenack: Nichtlineare Regelungssysteme - Theorie und Anwendung der exakten Linearisierung.
Springer Vieweg, 2017, S. 56, Algorithmus 3.2.