Sei $\mathcal{M}\subseteq\mathbb{R}^n$ offen. Die Lie-Ableitung eines Kovektorfeldes $\omega:\mathcal{M}\to(\mathbb{R}^n)^*$ in Richtung des Vektorfeldes $f:\mathcal{M}\to\mathbb{R}$ ist definiert durch

\[L_f\omega(x)= \omega(x) f^\prime(x) + f^T(x) \left( \frac{\partial \omega^T(x)}{\partial x} \right)^T.\]

Mehrfache Lie-Ableitungen sind rekursiv durch

\[L_f^{k+1} \omega(x)= L_F \left(L_f^k\omega\right)(x) \quad\text{mit}\quad L_f^0\omega(x)=\omega(x)\]

definiert.

Berechnung mit Maxima

Das Vektorfeld $f$, das Kovektorfeld $\omega$ und der Vektor $x$ sind als Liste zu übergeben. Der Aufruf ist mit 3 und 4 Argumenten möglich.

LieCovector([l]):=block([f,w,x,k,Df,Dw,Lfw],
    if (length(l)<3) or (length(l)>4) then 
       error ("Aufruf mit 3 oder 4 Argumenten."),
    f:l[1],
    w:l[2],
    x:l[3],
    if length(l)=3 then k:1 else k:l[4],
    if not(nonnegintegerp(k)) then 
       error ("Ordnung k muss natürliche Zahl sein."),
    if k=0 then return(w)
    else 
        Df:jacobian(f,x),
        Dw:jacobian(w,x),
        Lfw:list_matrix_entries(w.Df+f.transpose(Dw)),
        return(LieCovector(f,Lfw,x,k-1))
)$

Aufruf für Lie-Ableitung $L_f\omega(x)$:

LieCovector(f,w,x)

Aufruf für Lie-Ableitung $L_f^k\omega(x)$ der Ordnung $k$:

LieCovector(f,w,x,k)

Anwendung: Beispiel 3.21

Klaus Röbenack: Nichtlineare Regelungssysteme - Theorie und Anwendung der exakten Linearisierung.
Springer Vieweg, 2017, S. 64, Algorithmus 3.3.