Rössler-System, approximative Linearisierung erster Ordnung

Betrachtet wird das Rössler-System

\[\begin{array}{lcl} \dot{x}_{1} & = & -x_{2}-x_{3}\\ \dot{x}_{2} & = & x_{1}+ax_{2}\\ \dot{x}_{3} & = & c+x_{3}(x_{1}-b) \end{array}\]

mit den Parametern $a,b,c>0$ und der modifizierten Ausgangsgleichung

\[y=\ln(x_3).\]

Berechnet wird eine Beobachterverstärkung $k_1(\hat{x})$, mit der eine approximative Linearisierung erster Ordnung erzielt wird. Für die linearisierte Fehlerdynamik sei das charakteristische Polynom

\[a_0+a_1s+a_2s^2+s^3\]

vorgegeben. Mit der Beobachterverstärkung

\[k_{1}(\hat{x})=\left(\begin{array}{c} a\,a_{2}+a_{1}\\ (1-a^{2})a_{2}-a\,a_{1}-a_{0}\\ a_{2}\hat{x}_{3} \end{array}\right)+\left(\begin{array}{c} a^{2}-1-\hat{x}_{3}\\ a(2-a^{2})\\ a\hat{x}_{3}-c \end{array}\right)\]

erzielt man eine Approximation erster Ordnung. Das entspricht einem erweiterten Luenberger-Beobachter, der über die Beobachternormalform entwurfen wurde.

Maxima

Klaus Röbenack: Nichtlineare Regelungssysteme - Theorie und Anwendung der exakten Linearisierung.
Springer Vieweg, 2017, S. 357-358.