Lie-Ableitung eines Skalarfeldes
(%i1) LieScalar ( [ l ] ) : = block ( [ f , h , x , k , Lfh ] ,
   if ( length ( l ) < 3 ) or ( length ( l ) > 4 ) then
      error ( "Aufruf mit 3 oder 4 Argumenten." ) ,
   f : l [ 1 ] , /* Vektorfeld */
   h : l [ 2 ] , /* Skalarfeld */
   x : l [ 3 ] , /* Variable   */
   if length ( l ) = 3 then k : 1 else k : l [ 4 ] ,
   if not ( nonnegintegerp ( k ) ) then
      error ( "Ordnung k muss natürliche Zahl sein." ) ,
   if k = 0 then return ( h )
   else
       Lfh : jacobian ( [ h ] , x ) . f ,
       return ( LieScalar ( f , Lfh , x , k − 1 ) )
) $
Beobachtbarkeitsabbildung
(%i2) ObservabilityMap ( f , h , x ) : = block ( [ i , n ] ,
   n : length ( x ) ,
   makelist ( LieScalar ( f , h , x , i ) , i , 0 , n − 1 )
   ) $
Beobachtbarkeitsmatrix
(%i3) ObservabilityMatrix ( f , h , x ) : = jacobian ( ObservabilityMap ( f , h , x ) , x ) $
Beispiel: Eulersche Kreiselgleichungen
(%i5) f : [ λ1 · x2 · x3 , λ2 · x1 · x3 , λ3 · x1 · x2 ] $
x : [ x1 , x2 , x3 ] $
Beobachtbarkeitsmatrix und deren Determinante
(%i7) Q : factor ( ObservabilityMatrix ( f , x1 , x ) ) ;
d : factor ( determinant ( Q ) ) ;

\[\operatorname{(Q) }\begin{pmatrix}1 & 0 & 0\\ 0 & \ensuremath{\mathrm{x3}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}} & \ensuremath{\mathrm{x2}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\\ \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \left( {{\ensuremath{\mathrm{x2}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}}+{{\ensuremath{\mathrm{x3}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}\right) & 2 \ensuremath{\mathrm{x1}}\, \ensuremath{\mathrm{x2}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}} & 2 \ensuremath{\mathrm{x1}}\, \ensuremath{\mathrm{x3}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}\end{pmatrix}\]

\[\operatorname{(d) }-2 \ensuremath{\mathrm{x1}} {{\ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}}^{2}} \left( {{\ensuremath{\mathrm{x2}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}}-{{\ensuremath{\mathrm{x3}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}\right) \]

Beobachterverstärkung
(%i9) invert ( Q ) . [ a2 , a1 , a0 ] $
k : ratsimp ( % ) ;

\[\operatorname{(k) }\begin{pmatrix}\ensuremath{\mathrm{a2}}\\ -\frac{\ensuremath{\mathrm{a2}} {{\ensuremath{\mathrm{x2}}}^{3}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}}+\left( \ensuremath{\mathrm{a2}}\, \ensuremath{\mathrm{x2}} {{\ensuremath{\mathrm{x3}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}+2 \ensuremath{\mathrm{a1}}\, \ensuremath{\mathrm{x1}}\, \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) \, \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}-\ensuremath{\mathrm{a0}}\, \ensuremath{\mathrm{x2}}}{2 \ensuremath{\mathrm{x1}} {{\ensuremath{\mathrm{x2}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}}-2 \ensuremath{\mathrm{x1}} {{\ensuremath{\mathrm{x3}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}}\\ \frac{\left( \ensuremath{\mathrm{a2}} {{\ensuremath{\mathrm{x2}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{x3}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}+2 \ensuremath{\mathrm{a1}}\, \ensuremath{\mathrm{x1}}\, \ensuremath{\mathrm{x2}}\right) \, \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}}+\ensuremath{\mathrm{a2}} {{\ensuremath{\mathrm{x3}}}^{3}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}-\ensuremath{\mathrm{a0}}\, \ensuremath{\mathrm{x3}}}{2 \ensuremath{\mathrm{x1}} {{\ensuremath{\mathrm{x2}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 3}}-2 \ensuremath{\mathrm{x1}} {{\ensuremath{\mathrm{x3}}}^{2}} \ensuremath{\mathrm{\lambda 1}}\, \ensuremath{\mathrm{\lambda 2}}}\end{pmatrix}\]

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