Lie-Klammer bzw. Lie-Ableitung eines Vektorfeldes
(%i1) LieBracket ( [ l ] ) : = block ( [ f , g , x , k , Df , Dg , ad ] ,
   if ( length ( l ) < 3 ) or ( length ( l ) > 4 ) then
      error ( "Aufruf mit 3 oder 4 Argumenten." ) ,
   f : l [ 1 ] ,
   g : l [ 2 ] ,
   x : l [ 3 ] ,
   if length ( l ) = 3 then k : 1 else k : l [ 4 ] ,
   if not ( nonnegintegerp ( k ) ) then
      error ( "Ordnung k muss natürliche Zahl sein." ) ,
   if k = 0 then return ( g )
   else
       Df : jacobian ( f , x ) ,
       Dg : jacobian ( g , x ) ,
       ad : list_matrix_entries ( Dg . f − Df . g ) ,
       return ( LieBracket ( f , ad , x , k − 1 ) )
) $
Bildet Involutiven Abschluss (L ... Liste von Vektorfeldern, x ... Variable für Lie-Ableitung)
(%i2) InvolutiveClosure ( L , x ) : = block ( [ flag , F , G , i , j , r , n ] ,
   F : apply ( ' matrix , L ) ,
   F : transpose ( F ) ,
   flag : true ,
   while flag do (
       flag : false ,
       [ n , r ] : matrix_size ( F ) ,
       for i : 1 thru r do
           for j : i + 1 thru r do block ( [ f1 , f2 ] ,
               f1 : list_matrix_entries ( col ( F , i ) ) ,
               f2 : list_matrix_entries ( col ( F , j ) ) ,
               G : addcol ( F , LieBracket ( f1 , f2 , x ) ) ,
               if rank ( F ) < rank ( G ) then (
                   F : copy ( G ) ,
                   flag : true
               )      
       )
   ) ,
   makelist ( makelist ( F [ i , j ] , i , 1 , n ) , j , 1 , r )
) $
Vektorfelder f1 und f2
(%i5) f1 : [ sin ( x3 ) , cos ( x3 ) , 0 ] ;
f2 : [ 0 , 0 , 1 ] ;
x : [ x1 , x2 , x3 ] ;

\[\operatorname{(f1) }\left[ \sin{\left( \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) }\operatorname{,}\cos{\left( \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) }\operatorname{,}0\right] \]

\[\operatorname{(f2) }\left[ 0\operatorname{,}0\operatorname{,}1\right] \]

\[\operatorname{(x) }\left[ \ensuremath{\mathrm{x1}}\operatorname{,}\ensuremath{\mathrm{x2}}\operatorname{,}\ensuremath{\mathrm{x3}}\right] \]

Involutiver Abschluss
(%i6) InvolutiveClosure ( [ f1 , f2 ] , x ) ;

\[\operatorname{ }\left[ \left[ \sin{\left( \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) }\operatorname{,}\cos{\left( \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) }\operatorname{,}0\right] \operatorname{,}\left[ 0\operatorname{,}0\operatorname{,}1\right] \operatorname{,}\left[ -\cos{\left( \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) }\operatorname{,}\sin{\left( \ensuremath{\mathrm{x3}}\right) }\operatorname{,}0\right] \right] \]

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